Question:
Vaccination et dynamique démographique d'une épidémie
Khaloymes
2012-12-10 14:10:15 UTC
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J'essaie de comprendre comment un modèle de vaccination doit être construit pour être corrélé à la densité de la population, et j'ai du mal à comprendre la signification des résultats que je reçois lorsque j'applique la théorie à des données spécifiques qui me sont fournies.

La phase initiale d'une explosion d'une maladie peut être décrite par un modèle de croissance exponentielle. L'équation pertinente est:

$ (1) \ frac {dI} {dt} = \ beta n (1-q) I- \ mu I $ où:

$ n $ = la densité de population. Mesurons-le en unités de $ km ^ {- 2} $.

$ I $ = la densité d'individus déjà infectés dans la population; mesuré dans les mêmes unités que $ n $.

$ q $ = la fraction de la population qui est immunisée contre la maladie, soit naturellement du fait de la vaccination. Par conséquent, $ 1-q $ est la fraction de la population qui est sensible, c'est-à-dire qui risque d'être infectée. $ q $ est un nombre pur entre $ 0 $ et $ 1 $, et n'a pas d'unités.

$ \ beta $ = est le taux de transmission de la maladie. Il mesure la facilité et la rapidité avec lesquelles la maladie peut être transmise d'un individu infecté à un individu sensible non infecté. $ \ beta $ inclut en son sein à la fois le taux de rencontre entre les individus infectés et non infectés, et la probabilité qu'une telle rencontre aboutisse à une transmission effective de la maladie. $ \ beta $ a des dimensions de $ \ frac {1} {temps \ fois la densité ^ {2}} $, alors mesurons-le en unités de $ semaine ^ {- 1} km ^ {4} $.

$ \ mu $ = la vitesse à laquelle les individus infectés sont éliminés du groupe d'individus infectés, soit parce qu'ils guérissent, soit parce qu'ils meurent. $ \ frac {1} {\ mu} $ est la durée moyenne de l'infection, c'est-à-dire le temps moyen pendant lequel un individu reste infecté avant de guérir ou de mourir. Mesurons $ \ mu $ en unités de $ semaine ^ {- 1} $.

Cette équation dérive de l'équation différentielle $ (2) \ frac {dN} {dt} = rN $ où $ r $ est appelé taux d'accroissement instantané. Il est facile de voir que $ I $ de l'équation $ (1) $ équivaut à $ N $ de l'équation $ (2) $ et par conséquent, $ r $ pour l'équation $ (1) $ sera $ (3) r = \ beta n (1-q) - \ mu $. Lorsque nous regardons l'équation $ (3) $, nous voyons deux facteurs:

$ \ beta n (1-q) $ - Un facteur positif (ii) $ \ mu $ - Un facteur négatif

Compte tenu de ce qui précède, lorsque $ r = 0 $, il n'y a pas d'augmentation de la population (iii). À partir de là, nous pouvons calculer $ q_ {0} $ qui est la fraction minimale d'individus vaccinés / immunisés dans la population qui est nécessaire pour empêcher la propagation de la maladie. À partir de l'équation $ (3) $, nous pouvons comprendre que $ q_ {0} = 1- \ frac {\ mu} {\ beta n} $. Tout comme $ q $, $ q_ {0} $ est un nombre pur entre $ 0 $ et $ 1 $.

Bienvenue dans le désert du réel (ma question) :

Supposons que nous comparions deux pays avec les données suivantes:

  1. Israël: $ n = 347km ^ {- 2} $, $ \ beta = 0,0015 semaine ^ {- 1} km ^ {4} $, $ \ mu = 0.25week ^ {- 1} $
  2. Finlande: $ n = 16km ^ {- 2} $, $ \ beta = 0.0015week ^ {- 1} km ^ {4} $, $ \ mu = 0.25week ^ {- 1} $

Quand nous cherchons $ q_ {0} $ pour Israël, nous voyons que $ q_ {0} (Israël) = 1- \ frac {0,25} {0,0015 \ times347} = 0,52 = 52 $% tandis que pour la Finlande, nous voyons que $ q_ {0} (Finlande) = 1- \ frac {0,25} {0,0015 \ times16} = -9,42 = -942 $%. En supposant que nous ayons des données correctes en premier lieu, $ q_ {0} $ est un nombre pur négatif qui n'est pas compris entre $ 0 $ et $ 1 $.

  1. Faites cela, et des résultats similaires ont du sens? Surtout quand ils ne sont pas entre les limites définies de la variable.

  2. S'ils ont du sens, qu'est-ce que cela signifie obtenir un résultat négatif? Comment cela devrait-il affecter ma politique de vaccination?

Notes de bas de page :

(i) Tiré de mes diapositives de la conférence sur l'écologie des populations

(ii) Positif quand on le regarde du point de vue épidémique

(iii) Des individus infectés

Vous devez vous assurer que le numéro de reproduction de base de votre modèle finlandais est capable de soutenir une épidémie * sans * vaccination.
@EpiGrad En d'autres termes, je dois m'assurer que l'épidémie continuera d'être au moins stable sans vaccination?
Oui c'est correct.
Selon cela, nous augmentons μ lorsque nous mettons les personnes infectées en quarantaine.
Un répondre:
shigeta
2012-12-11 10:54:59 UTC
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Je pense que cela a du sens - avec une densité de population si faible pour la Finlande, la maladie avec une bêta aussi faible ne peut pas communiquer avec suffisamment de personnes pour se propager.

Le nombre de personnes atteintes de cette maladie diminuera chaque semaine. Je pense que cela a du sens car à 16 / km ^ 2, on peut s'attendre à ce que pratiquement personne ne se voie jamais.

C'est un modèle défectueux car il suppose que la densité moyenne est uniforme. Dans une ville comme Helsinki ( 2 800 / km ^ 2), vous vous attendez à ce que la maladie soit attrapée par presque tout le monde en une semaine seulement.

Helsinki: n = 94,5%

En Laponie ( qui a une densité de population inférieure à 2 / km ^ 2), le taux de transmission (beta ) de 0,0015 se traduit par 0,003 incidents par semaine. Ce n'est pas une maladie terriblement entraînante, vous devez probablement embrasser quelqu'un, porter ses vêtements ou manger dans son assiette pour l'avoir. Avec seulement 2 personnes par km ^ 2, les chances que cela se produise semblent faibles, même si même ici, les familles ont tendance à contracter la maladie et le modèle s'effondre.

Donc, pour résumer, le modèle est cohérent en lui-même, MAIS c'est un modèle pour bébé et fait des hypothèses générales qui ne l'aident pas à décrire la dynamique de la maladie dans une portée nationale ou portée. Il décrit probablement les chances que des balles entrent en collision dans une boîte ainsi que la propagation de la maladie.

Donc, fondamentalement, je ne devrais pas être strictement lié par 0
Oui - c'est un point important - si nous incluons les coûts sociaux et économiques de la vaccination, parfois nous ne le faisons pas. C'était le cas de la tuberculose. En Europe, qui a plus de frontières et une population plus dense (à l'époque), ils ont utilisé un vaccin efficace 60 à 80% du temps (BCG). Aux États-Unis, nous avons décidé de transmettre cela et d'utiliser le test cutané pour la prévention et la détection (le vaccin vous rend un faux positif). La différence réside principalement dans le nombre de patients et la densité de la population à l'époque.
En lisant sur wikipedia, cela ressemble à un modèle déterministe standard, mais il existe une description des modèles à plusieurs compartiments qui prendraient en compte différentes populations ou différentes sous-régions dans un modèle ... http://en.wikipedia.org/wiki/Epidemic_model #Models_with_More_Compartments
"Je pense que cela a du sens - avec une densité de population pour la Finlande qui est si faible, la maladie avec un bêta aussi bas ne peut pas communiquer avec suffisamment de personnes pour se propager." - Ce n'est pas nécessairement précis, cela dépend de la densité de population, des habitudes sociales , niveau de technologie, etc ... à quelle fréquence les personnes se rencontrent ...
Je ne pense pas que ce modèle soit valable pour les MST comme le VIH.
"Cela décrit probablement les chances que des balles entrent en collision dans une boîte ainsi que la propagation de la maladie." +1, je suis d'accord avec cela. Btw. connaissez-vous de meilleurs modèles?
J'imagine qu'un modèle qui suit explicitement les individus et les événements de transmission de maladies fonctionnerait mieux. Ce n'est pas mon domaine cependant, je lis juste ce que vous avez ici.


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